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Ganz einfach berechenbar...

Das Verfahren zur Berechnung ist eigentlich recht simpel – man darf nur den Umgang mit den (zugegebenermaßen seltsamen) «komplexen Zahlen» nicht scheuen, aber ansonsten dürften die Mathematikkenntnisse aus der Schule zum Verständnis ausreichen. :-)

Das Grundprinzip besteht darin, dass für jeden farbigen Punkt auf dem Rechteck, auf das das Bild gezeichnet wird, einzeln eine Farbe berechnet wird.

Die vorgegebenen Grenzen des Ausschnittes sind «reelle Zahlen»; aus diesen und der Position des Punktes, den man gerade berechnen will, ergeben sich jeweils eine (reelle) Zahl für die waagerechte (also x-) und eine weitere für die senkrechte (also y-) Position.
Bei der Ausgangsposition sind

  • Der kleinste x-Wert (linker Rand) = -2,5
  • Der größte x-Wert (rechter Rand) = +1,5
  • Der kleinste y-Wert (unterer Rand) = -1,5
  • Der größte y-Wert (oberer Rand) = +1,5

Wir haben also zu jedem Punkt in der zu berechnenden Grafik ein Zahlenpaar aus reellen Zahlen. Diese wird als «komplexe Zahl» behandelt (nämlich x+yi, mit der Regelung, das das i ein besonderes Gebilde ist, für das eine bei den reellen Zahlen unbekannte Definition gilt: i 2 = -1). Und diese komplexe Zahl wird für folgenden, sich wiederholenden Rechenlauf benutzt:

  • Angefangen wird mit einer komplexen Zahl 0 + 0i.
  • Diese Zahl wird quadriert (d.h. mit sich selbst multipliziert, das Quadrat aus x + yi beträgt (x 2- y 2) + (2xy)i,
  • anschließend wird das bewusste Zahlenpaar x+yi hinzuaddiert. (Rechenregel nach der binomischen Formel: (x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b)i
  • Und dann wird geprüft, ob der «Betrag» des Rechenergebnisses eine festgelegte Konstante überschreitet. (Der «Betrag» von x+yi ist die Quadratwurzel aus der Summe von x 2+ y 2)
    • Wenn Ja, hat man das Rechenergebnis. Dies ist nicht irgendein direktes Ergebniss aus der Rechnung, sondern die ANZAHL der bis hierhin getätigten Rechenläufe, also eine «natürliche Zahl».
    • Wenn Nein, wird eine weitere Sache geprüft:
      Es gibt Zahlenpaare, bei denen die Rechenergebnisse auch bei noch so vielen Durchläufen immer unter der Konstante bleiben; um hier eine «Endlosschleife» zu verhindern, wird geprüft, ob eine festgelegte maximale Zahl von Berechnungsläufen bereits erfolgt ist.
      • Wenn Nein, wird der Rechenablauf wiederholt, und zwar (statt mit 0 + 0i) mit dem Zwischenergebnis, das man soeben errechnet hat.
      • Wenn Ja, wird der Berechnungslauf abgebrochen, und die genannte maximale Zahl der Rechendurchläufe wird als Berechnungsergebnis angesehen. Wichtig: Dies ist kein «Fehlschlag», sondern ein Berechnungserfolg: Wenn die maximale Zeit von Berechnungsdurchläufen hoch genug und somit das Rechenergebnis mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit unendlich ist, liegt hier ein Punkt von einem «Apfelmännchen» vor!

Wenn man diese Anzahl ermittelt hat, wird dieser Zahl nach irgendeinem Verfahren (etwa aus einer Tabelle) eine Farbe zugeordnet und setzt den Punkt in dieser Farbe.

... Das ist es schon, das ganze Berechnungsverfahren.