Rekursive Folgen

Die immer wieder wiederholte Berechnung nach derselben Formel hat eine rekursive Folge als Ergebnis...

Was sind eigentlich Rekursive Folgen...?"

Folge
Eine Folge ist eine geordnete Menge von Zahlen, bei der jedes Element nach der gleichen Berechnungsvorschrift aus ihrer Position innerhalb der Reihenfolge errechnet wird.
Eine einfache Folge wäre zum Beispiel:
x={2;4;8;16; ...}
Die Zahlen stehen in einer bestimmten Reihenfolge. Man kann daher auch jedes einzelne Folgeglied ganz gezielt bezeichnen, indem man einen Index als "Positionsangabe" mit angibt. Dies sieht dann folgendermaßen aus:
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 8 usw.
Die einzelnen Folgeglieder können aus dem mit angegebenen Index berechnet werden.
Explizite Folge
Die allgemeine Berechnungsvorschrift ergibt sich im Beispiel ziemlich unmittelbar aus dem Index und kann hier wie folgt angegeben werden:
xn = 2n
Dies ist ein Beispiel für die explizite Darstellung einer Folge. Es kann auf diese Weise jedes Folgeglied einfach errechnet werden, ohne daß man die Folgeglieder davor kennen muß.
Rekursive Folge
Alternativ zur expliziten Darstellung kann man die Glieder dieser Folge auch rekursiv berechnen. Für die rekursive Darstellung der Folgenberechnung werden immer zwei Dinge gebraucht. Nämlich den Zahlenwert vom ersten Folgeglied (also x1) und die Formel, mit der ein Folgeglied aus dem vorherigen berechnet wird. In unserem Beispiel sähe das folgendermaßen aus:
x1 = 2 ; xn = 2xn-1
Die rekursive Darstellung hat (neben der auf den ersten Blick umständlich erscheinenden Darstellung) einen entscheidenden Nachteil: Es muss nämlich, um ein bestimmtes Folgeglied zu berechnen, zunächst jedes vorangehende Folgeglied berechnet werden, weil man ja sonst nicht "da hin kommt".
Aber trotzdem hat die rekursive Darstellung ihre Existenzberechtigung - es gibt so manche Folge, bei der die eigentlich vorteilhaftere explizite Darstellung nicht so einfach möglich ist. Ich jedenfalls weiß nicht, wie man die rekursive Folge
x1 = 0 ; xn = (1 + xn-1) 2
als "explizite" Folge darstellen könnte :-(
Und gerade dies ist das zentrale Rechenproblem der Fraktale: Der eigentlich einfache Berechnungsvorgang, der jedoch nach ein bisschen "dranherumrechnen" schnell ins Gigantische wächst ;-)
Noch etwas delikater wird die Sache, weil wir hier obendrein nicht mit dem zu tun haben, was wir aus dem Alltagsleben so als Zahlen kennen, sondern mit etwas "komplexeren Gebilden"...
Mehr dazu im Exkurs über komplexe Zahlen...