Komplexe Zahlen

Rechnen mit Zahlenpaaren. Mit ein bisschen Theorie geht das! - Diese Theorie nimmt allerdings nicht bei den Paaren, sondern bei "-1" ihren Anfang...!

Was sind denn nun Komplexe Zahlen...?"

Vorweg erstmal: Reelle Zahlen
Der Begriff ist keine "Neuerfindung" im Zusammenhang mit komplexen Zahlen, sollte hier aber der Klarheit halber noch mal kurz definiert werden:
Eine reelle Zahl ist eine Zahl, die sich auf einem Zahlenstrahl darstellen läßt.
Darunter fallen z. B.2, -8,5, 0, 2/7, Pi usw. Eben alles, was man sich so normalerweise unter einer Zahl vorstellt. Bei zwei verschiedenen Zahlen kann man immer genau sagen, welche größer ist, und man kann auf einem Zahlenstrahl ihre Differenz darstellen.
Beispiel: Die Zahl Pi (=3,14159) auf dem Zahlenstrahl:
Beispiel für einen Zahlenstrahl
Imaginäre Zahlen
Eine imaginäre Zahl ist das Produkt aus einer realen Zahl und derjenigen Zahl, deren Quadrat -1 beträgt.
Eine reale Zahl: Siehe oben. So weit so gut.
Aber dieses andere Ding - ? Eine negative Zahl kann's nicht sein, weil eine negative Zahl zum Quadrat immer ein positives Ergebnis ergibt. Also niemals -1. Eine positive Zahl und die Zahl 0 sind erst recht keine geeigneten Kandidaten. Aber was dann?
Der Mathematiker nennt das "i" wie "imaginär". Typisch Mathematiker: Man kann es sich in der Praxis nicht vorstellen. Nicht richtig positiv und nicht richtig negativ. Eben imaginär. Dies ist keine "reelle Zahl", man kann sie nämlich nicht auf einem Zahlenstrahl unterbringen, der für reelle Zahlen bestimmt ist.
Übrigens haben Mathematiker auch bei diesem bizarren Gebilde an einem Punkt Hemmungen: Sie sagen "i2 = -1", aber nicht "i = Quadratwurzel aus -1", denn die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ist ja schließlich "nicht definiert" ;-)
Eine imaginäre Zahl wäre also zum Beispiel "15i".
Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl ist die Summe aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl.
Also zum Beispiel: "3 + 4i".
(Damit die Sache mal etwas plastischer wird, schreibe ich die Bestandteile hier mal an manchen Stellen farbig: der "reelle Teil" blau und der reelle Faktor des "imaginären Teiles" rot).
Die allgemeine Form einer komplexen Zahl lautet: x  +  yi.
Man kann dies Zahlengebilde nicht weiter anders zusammenfassen. Wenn man zwei reelle Zahlen addieren will, kann man sich das dadurch anschaulich machen, indem man die eine Zahl auf dem Zahlenstrahl um den Betrag der anderen Zahl je nach Vorzeichen nach rechts oder nach links schiebt.
Aber man kann es nicht auf dem Zahlenstrahl darstellen, wenn man zu einer reellen Zahl eine imaginäre hinzuaddieren will. Denn wegen des merkwürdigen Vorzeichens kann man nicht sagen, ob man um den Betrag "nach rechts" oder "nach links schieben" soll. Eine komplexe Zahl bleibt immer ein Zahlenpaar, das sich ebenso wenig mischen läßt wie Öl und Wasser.
Aber natürlich kann man sich ein wenig helfen: Der imaginäre Teil beinhaltet ja immer einen "reellen Teil", eine reelle Zahl, die für sich ja wiederum auf einem Zahlenstrahl darstellen lässt. Aber dieser Zahlenstrahl hat keinerlei Bezug mit dem Zahlenstrahl, auf dem der "reelle Teil" dargestellt wird. Außer, daß sie sich im Nullpunkt treffen. Will heißen: Man kann eine komplexe Zahl darstellen als einem Punkt auf einem Koordinatensystem, bei dem die eine Achse den reellen Teil und die andere den imaginären Teil darstellt. Das Ergebnis ist, daß komplexe Zahlen zwar nicht auf einem Zahlenstrahl, aber stattdessen auf einer sog."Zahlenebene" dargestellt werden können. Als Punkte, die eben mit zwei Koordinaten (statt wie auf dem Zahlenstrahl mit einer) bestimmt werden.
Beispiel: Die oben erwähnte Zahl 3  +  4i auf der Zahlenebene:
Beispiel für eine Zahlenebene
Nach all diesen Vorüberlegungen kann man nun - mit den herkömmlichen algebraischen Hilfsmitteln - wunderbar mit komplexen Zahlen rechnen. Sieht folgendermaßen aus:
Addieren: (x + yi) + (n + oi) = (x + n) + (y + o)i ,
analog dazu Subtrahieren: (x + yi) - (n + oi) = (x - n) + (y - o)i
Multiplizieren: (x + yi) (n + oi) = xn + xoi + yni + yo(i2) = (xn - yo) + (xo + yn)i - Alles paletti?
Und hier noch eine Sonderform zum Multiplizeren, nämlich
Quadrieren: (x + yi)2 = x2+ xyi + yxi + y2i2 = (x2 - y2) + (2xy)i
Dividieren: Geht auch, ist aber ein bisschen konfuser. Will ich an dieser Stelle mal weglassen, weil man's für die Überlegungen hier eh nicht braucht.
Der Betrag einer komplexen Zahl
Der Betrag einer komplexen Zahl
Hurra, jetzt wird's wieder etwas anschaulicher. Der Betrag ist immer eine positive reelle Zahl. Sieht beim Beispiel von vorhin folgendermaßen aus (oliv eingezeichnet):
Der Betrag auf der Zahlenebene
Zur Lesbarkeit: Der Betrag wird durch | umschließende senkrechte Striche | dargestellt.
Auf der Skizze sieht man: Hier kommt Pythagoras zum Einsatz! Will heißen:
| x  +  yi | 2  = x2  + y2, und daraus folgt:
| x  +  yi | = √(x2  + y2).
Soweit erstmal. Jetzt nur noch alles gedanklich zusammensetzen, und - alles paletti . . . ?