Funktionen

Wenn man so will, kann man die Mandelbrotmenge als "Funktionsgraph" bezeichnen...

Was versteht man eigentlich unter Funktionen...?

Auch wenn es dem einen oder anderen so ungefähr klar sein sollte, worum es geht - der Klarheit halber sollen hier noch einmal ein paar Grundbegriffe aufgeführt werden:

Funktion
Eine Funktion ist die Beschreibung eines Vorganges (z. B einer Berechnung), der jedem Element aus dem Definitionsbereich genau ein Element aus dem Wertebereich zuordnet.
Wichtig ist dabei: Jedem Element aus dem Definitionsbereich wird durch die Funktion genau ein Element aus dem Wertebereich zugeordnet.
Aber: Ein und dasselbe Element aus dem Wertebereich kann das Ergebnis verschiedener Elemente aus dem Definitionsbereich sein.
Und: Der Definitionsbereich und der Wertebereich müssen nicht unbedingt identisch sein.
Die Elemente aus dem Definitionsbereich bezeichne ich an dieser Stelle mit der Variable "x", die aus dem Wertebereich mit "z".
Im allgemeinen lautet die Beschreibung einer Funktion immer so ähnlich wie z = mathematische Operation auf x.
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist die Menge der Zahlen, denen die Funktion ein Element aus dem Wertebereich zuordnet.
Wenn die Funktion einer Zahl kein Element aus dem Wertebereich zuordnen kann, gehört diese Zahl auch nicht zum Definitionsbereich (z. B. Null, wenn die Funktion lautet: z = 1/x.)
Wertebereich
Der Wertebereich ist die Menge der Zahlen, aus der Funktion den Elementen aus dem Definitionsbereich in Element zuordnet.
Während jedes Element aus dem Definitionsbereich zwangsläufig mit genau einem Element aus dem Wertebereich "bestückt" ist, kann es im Wertebereich wesentlich "lockerer zugehen": Es kann durchaus sein, dass einige Elemente aus dem Wertebereich ziemlich vielen verschiedenen Elementen aus dem Definitionsbereich zuzuordnen sind, während andere vielleicht überhaupt nicht "vergeben werden".
Funktionsgraph
Ein Funktionsgraph skizziert die Elemente des Definitionsbereiches sowie die dazugehörigen des Wertebereiches. Definitions- und Wertebereich werden auf verschiedenen Koordinatenachsen dargestellt.
Versteht sich von selbst: Man kann (bzw. muss) sich - gerade beim Definitionsbereich - natürlich auf einen Ausschnitt beschränken.
Ein Beispiel: Diese Skizze zeigt den Funktionsgraphen der Funktion z = x2 / 8. Der Definitionsbereich (die Variable "x") ist hier blau und der Wertebereich ("z") grau eingezeichnet. Der eigentliche Funktionsgraph ist grün.
Beispiel für einen Funktionsgraphen
Der Funktionsgraph der Mandelbrotmenge
Die Mandelbrotmenge ist der Funktionsgraph der Funktion, die jedem Element c aus dem Definitionsbereich der komplexen Zahlen das kleinste Element n aus der Menge der natürlichen Zahlen zuordnet, für das gilt:
|xn| > k , wobei alle xn Glieder der rekursiven Folge sind: x1 = 0 + 0i ; xn = (c + xn-1)2.
Die Variable k ist hierbei eine beliebige Konstante.
Und zwar mit ein paar Besonderheiten: Der Definitionsbereich ist nämlich die Menge der komplexen Zahlen und der Wertebereich die Menge der natürlichen Zahlen.
Ganz korrekt ist diese Darstellung eigentlich nicht. Wenn man es ganz genau nimmt, gehören diejenige komplexen Zahlen nicht zum Definitionsbereich, denen man kein n zuordnen kann, weil es "unendlich" wäre. Und gerade diese "Löcher" im Definitionsbereich machen die Fraktale einerseits hochinteressant, andererseits zum Rechenproblem: Sie sind in ihrer Gesamtheit nichts anderes als das allgegenwärtige schwarz abgebildete "Apfelmännchen" mit seinen zahlreichen "Kindern". Sicherlich werden nicht alle schwarzen Punkte "wirklich schwarz" sein, sondern bei vielen kann man noch einen Funktionswert berechnen. Fragt sich nur, ob beim zwölften, dem 51., dem 5001. oder vielleicht erst dem 275942576639859sten Schleifendurchlauf! Es sind für einen Punkt, bevor die rekursive Folge durchgerechnet wird, im Prinzip keine präzisen Vorhersagen möglich, wie oft noch gerechnet werden muss, bis das Folgeglied (wenn überhaupt jemals) die Betragsgrenze überschreitet.
Da das Bild ja irgendwann fertig werden soll, bleibt einem also nichts anderes übrig, als irgendwann ein Ende zu definieren, vielleicht bei 50, vielleicht bei 5000, vielleicht auch bei einem ganz anderen Wert. Je höher die Zahl, desto genauer, je niedriger, desto schneller...
Man kann deshalb sich an den Rand des Apfelmännchens "nur" mit beliebiger Genauigkeit (und entsprechendem Rechenaufwand) "herantasten", aber nie "ganz exakt" abstecken.
Die Menge der komplexen Zahlen kann nicht auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden, sondern braucht dafür ein Gebilde aus zwei sich kreuzenden Strahlen, der "Zahlenebene". Die "herkömmliche" Methode, Funktionsgraphen zu zeichnen hilft hier deshalb nicht weiter: Es reicht nicht aus, einen Strahl zu zeichnen für den Definitionsbereich und einen zweiten Strahl für den Wertebereich. Sondern man muss muß man den Funktionsgraphen nun dreidimensional zeichnen: Zwei Dimensionen für die beiden Achsen der Zahlenebene des Definitionsbereiches (komplexe Zahlen) und eine dritte Dimension für die Achse, die den Wertebereich darstellt.
Um das optisch zu verdeutlichen, hier eine perspektivische Darstellung des dreidimensionalen Funktionsgraphen:
Das Apfelmännchen in dreidimensionaler Darstellung
Die waagerechte und die schräg nach hinten verlaufenden Achsen stehen für die x- und die y- Achse. Also für reellen und imaginären Teil der Elemente des Definitionsbereiches. Die Erhöhung nach oben zeigt bei dieser Skizze die Elemente aus dem Wertebereich an.
Zu den Farben, die hier eingesetzt werden:
Jeweils am oberen Ende habe ich einen farbigen Punkt gesetzt; jede jeweils andere Farbe steht für einen anderen Funktionswert. Die Auswahl der Farben ist dabei ziemlich willkürlich gewählt: Im Bild erkennt man einen Übergang von dunkelblau zu helleren Blautönen und von dort einen Übergang zu Gelbtönen. Jeder Funktionswert hat eine - zumindest geringfügig - andere Farbe.
In der Mitte steht ein "Tafelberg", der schwarz dargestellt ist. Es handelt sich hierbei um das sogenannte "Apfelmännchen". Die optische Darstellung ist hier nicht mehr anders machbar, als dass bei einer bestimmten Grenze "der Rest oben abgehackt" wird.
Die Flanken sind der optischen Darstellung zuliebe grau gezeichnet.
Man kann sich nun die dritte Dimension wegdenken will und sich mit der Darstellung der Funktionswerte auf die Farben beschränken. Das Ergebnis sieht dann folgendermaßen aus:
Das Apfelmännchen in zweidimensionaler perspektivischer Darstellung
Und wenn man das nun nicht mehr perspektivisch, sondern direkt von oben betrachtet, kommt man zu folgendem Bild:
Das Apfelmännchen "senkrecht von oben"

Langer Rede kurzer Sinn: Diese Art von Funktionsgraph bringt die Elemente aus der Menge der komplexen Zahlen als Punkte auf einer Ebene, die Elemente des Wertebereiches als Farben zum Ausdruck. Eine zugegebenermaßen ungewöhnliche Art der Darstellung.